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已知正实数x、y,x+y=2,求1/x+1/xy的最小值
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淡然扯水壶
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根据调和均值不等式,有:
1
+
1
≥
4
+
=
4
(
1
+
)
x
1
+
xy
1
≥
x+xy
4
=
x(1+y)
4
注意到 $x+y=2$,因此 $y=2-x$,将其代入上式得:
1
+
1
≥
4
(
1
+
)
=
4
(
3
−
)
x
1
+
xy
1
≥
x(1+y)
4
=
x(3−x)
4
现在的问题转化为求 $\frac{4}{x(3-x)}$ 的最小值。
因为 $x$ 是正实数,所以 $\frac{4}{x(3-x)}$ 的取值范围为 $(0, +\infty)$。
令 $f(x) = \frac{4}{x(3-x)}$,则:
′
(
)
=
4
(
2
−
3
)
2
(
3
−
)
2
f
′
(x)=
x
2
(3−x)
2
4(2x−3)
当 $x < \frac{3}{2}$ 时,$f'(x) < 0$;当 $x > \frac{3}{2}$ 时,$f'(x) > 0$。因此 $x=\frac{3}{2}$ 时 $f(x)$ 取得最小值,最小值为 $f(\frac{3}{2})=4$。
因此,$\frac{1}{x} + \frac{1}{xy}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$,当且仅当 $x=y=1$。
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