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Amer. Math. Monthly:在一个正方形中构造两个不相交的连通集
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喜悦的板栗
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在一个正方形中构造两个不相交的连通集是一个有趣的问题。为了构造这样的集合,我们可以考虑将正方形分成两个不相交的子正方形,然后在每个子正方形内构造一个连通集。
具体地,假设我们有一个 $n\times n$ 的正方形,其中 $n$ 是一个偶数。我们可以将这个正方形分成四个 $\frac{n}{2}\times\frac{n}{2}$ 的子正方形。在左上角和右下角的子正方形中分别构造一个连通集,使得这两个连通集不相交。例如,在左上角的子正方形中,我们可以构造一个以正方形的中心为顶点的正方形,这个正方形的边长是 $\frac{n}{4}$,然后将这个正方形的四个顶点与正方形的四个角连接起来,这样就构造出了一个连通集。
在右下角的子正方形中,我们可以构造一个类似的连通集,但是将正方形的中心移动一点点,使得它与左上角的连通集不相交即可。
这样,我们就构造出了一个 $n\times n$ 的正方形中的两个不相交的连通集。
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