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-∫bx^2㏒bx^2dx 积分是从0到alog的底数为2 怎么算
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酷炫踢太阳
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首先,我们可以使用换元法将被积函数中的 $bx^2$ 替换为一个新的变量 $u$,以便于求解。
令 $u = bx^2$,则有 $du/dx = 2bx$,从而 $dx = du/(2bx)$。将 $u$ 和 $dx$ 代入原积分式中,得到:
−
∫
2
log
(
2
)
=
−
∫
log
⋅
2
=
−
1
2
∫
log
⋅
−∫bx
2
log
b
(bx
2
)dx
=−∫log
b
u⋅
2bx
du
=−
2b
1
∫log
b
u⋅
x
du
接下来,我们可以再次使用换元法,令 $v = \log_b u$,则有 $u = b^v$ 和 $du/dv = b^v\ln b$。将 $u$ 和 $du$ 用 $v$ 和 $dv$ 表示,可以得到:
−
1
2
∫
log
⋅
=
−
1
2
∫
⋅
ln
=
−
ln
2
∫
⋅
(
2
)
=
−
ln
2
∫
⋅
(
)
2
−
1
−
2b
1
∫log
b
u⋅
x
du
=−
2b
1
∫v⋅
x
b
v
lnb
dv
=−
2b
lnb
∫v⋅
x
(bx
2
)
v
dv
=−
2b
lnb
∫v⋅(bx)
2v−1
dv
这时,我们可以对最后一个积分使用分部积分法。令 $u = v$ 和 $dv = (bx)^{2v-1}dv$,则有 $du/dv = 1$ 和 $v = (1/2)(bx)^{2v}$。代入分部积分公式中,得到:
∫
⋅
(
)
2
−
1
=
1
2
(
)
2
−
∫
1
2
(
)
2
⋅
ln
(
)
=
1
2
(
)
2
−
1
4
(
)
2
ln
(
)
∫v⋅(bx)
2v−1
dv
=
2
1
(bx)
2v
−∫
2
1
(bx)
2v
⋅ln(bx)dv
=
2
1
(bx)
2v
−
4
1
(bx)
2v
ln(bx)
将上式代入原积分式中,得到:
−
∫
2
log
(
2
)
=
−
ln
2
∫
⋅
(
)
2
−
1
=
−
ln
2
(
1
2
(
)
2
−
1
4
(
)
2
ln
(
)
)
=
−
ln
4
(
)
2
log
(
)
+
ln
8
(
)
2
log
(
)
ln
(
2
)
−∫bx
2
log
b
(bx
2
)dx
=−
2b
lnb
∫v⋅(bx)
2v−1
dv
=−
2b
lnb
(
2
1
(bx)
2v
−
4
1
(bx)
2v
ln(bx))
=−
4b
lnb
(bx)
2log
b
(a)
+
8b
lnb
(bx)
2log
b
(a)
ln(bx
2
)
将积分的上下限代入,即可得到最终的结果:
∫
0
log
2
−
2
log
(
2
∫
0
log
2
a
−bx
2
log
b
(bx
2
有用
无用
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