要计算正整数立方和与平方和的比值的极限，可以利用以下公式： lim ⁡ ������ → ∞ ∑ ������ = 1 ������ ������ 3 ∑ ������ = 1 ������ ������ 2 = lim ⁡ ������ → ∞ ������ 2 ( ������ + 1 ) 2 4 ������ ( ������ + 1 ) ( 2 ������ + 1 ) 6 n→∞ lim ​ i=1 ∑ n ​ i 2 i=1 ∑ n ​ i 3 ​ = n→∞ lim ​ 6 n(n+1)(2n+1) ​ 4 n 2 (n+1) 2 ​ ​ 通过化简分式，可以得到： lim ⁡ ������ → ∞ ∑ ������ = 1 ������ ������ 3 ∑ ������ = 1 ������ ������ 2 = lim ⁡ ������ → ∞ ������ 2 + ������ 2 ( 2 ������ + 1 ) n→∞ lim ​ i=1 ∑ n ​ i 2 i=1 ∑ n ​ i 3 ​ = n→∞ lim ​ 2(2n+1) n 2 +n ​ 将 $n$ 趋近无穷大代入上式得： lim ⁡ ������ → ∞ ∑ ������ = 1 ������ ������ 3 ∑ ������ = 1 ������ ������ 2 = 1 2 n→∞ lim ​ i=1 ∑ n ​ i 2 i=1 ∑ n ​ i 3 ​ = 2 1 ​ 因此，当 $n$ 趋近无穷大时，正整数立方和比平方和的两倍的极限为 $1/2$。