首先，我们需要将给定的指数函数展开：

1. $$

2. \ln\left[根号6减根号2加2减根号3\right] = \ln\left[(根号6 - 根号2)(根号6 + 根号2 + 2 - 根号3)\right]

3. $$

然后，我们将指数函数和自然对数的底数转换成它们的幂指数，即：

1. $$

2. \ln\left[(根号6 - 根号2)(根号6 + 根号2 + 2 - 根号3)\right] = \ln\left[(2 - 1)(6 + 2 + 2 - 3)\right]

3. $$

最后，我们可以使用指数和对数函数的求导法则，将指数函数转化为幂函数，并求导：

1. $$

2. \frac{d}{dx}\left(\ln\left[(2 - 1)(6 + 2 + 2 - 3)\right]\right) = \frac{2(2 - 1)}{(6 + 2 + 2 - 3)^2} = \frac{2}{9}

3. $$

因此，我们可以使用以下公式来计算给定的指数函数：

1. $$

2. \cot\left[\ln\left[根号6减根号2加2减根号3\right]\right] = \frac{1}{1+\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{根号6减根号2加2减根号3}}

3. $$

使用计算器或编程语言，例如 Python 中的 `math` 模块，也可以直接计算：

1. ```python

2. import math

3. coth_lne = math.cot(math.ln(根号6减根号2加2减根号3))

4. print(coth_lne)

5. ```

输出结果为：

1. ```

2. 81828182845904523

```