讨论幂函数y=a^x和对数函数y=log{a}x （a>0且a≠1）有几个交点？

提问者: 匿名用户

提问时间： 2022-12-11 23:48

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犹豫笑紫菜

犹豫笑紫菜回答于2023/04/11

幂函数和对数函数都有一次交点，因为它们是指数函数和对数函数的特例。

幂函数 $y=a^x$ 有 $x$ 次交点，当 $a \neq 1$ 且 $0 < x < \ln{a}$。这是因为 $a^x$ 可以表示为 $a^{x/a}$ 的形式，当 $a \neq 1$ 时，$x/a$ 的值只有 $x$ 和 $0$ 两个，因此 $a^x$ 在 $x=0$ 和 $x=\ln{a}$ 处取两个不同的值，因此有 $x$ 次交点。
对数函数 $y=log_{a} x$ 有 $log_{a} x$ 次交点，因为 $log_{a} x$ 可以表示为 $log_{a} x$ 的形式，当 $0 < x < e$。这是因为 $log_{a} x$ 在 $x=1$ 处取两个不同的值 $log_{a} 1 = 0$ 和 $log_{a} 1 = 1$，因此 $log_{a} x$ 在 $x=1$ 和 $x=e$ 处取两个不同的值，因此有 $log_{a} x$ 次交点。

因此，当 $a>0$ 且 $a≠1$ 时，幂函数和对数函数都有 $x$ 次交点。

幂函数

对数函数

y=a