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∫1/（x²+4）dx的不定积分
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无聊小小馒头
无聊小小馒头
这是一个常见的三角函数形式的积分，可以使用反正切函数来求解。
令 $u=x/2$，则 $du=1/2,dx$。将其代入原式，得：
∫
1
2
+
4
=
∫
1
4
2
+
4
⋅
2
=
1
2
∫
1
2
+
1
∫
x
2
+4
1
dx=∫
4u
2
+4
1
⋅2du=
2
1
∫
u
2
+1
1
du
现在，令 $v=u+ i$，则 $dv=du$。将其代入上式中，得：
∫
1
2
+
4
=
1
2
∫
1
2
+
1
=
1
2
∫
1
2
+
1
∫
x
2
+4
1
dx=
2
1
∫
u
2
+1
1
du=
2
1
∫
v
2
+1
1
dv
这是一个标准的反正切函数形式的积分，所以
∫
1
2
+
4
=
1
2
arctan
(
2
)
+
,
∫
x
2
+4
1
dx=
2
1
arctan(
2
x
)+C,
其中 $C$ 是任意常数。
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