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g(t)=(t-2)f(t)的fourier变换
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根据傅里叶变换的定义,将一个函数 $f(t)$ 傅里叶变换为其傅里叶反变换 $f'(t)$ 的形式,得到一个新的函数 $g(t)$,其傅里叶变换为:
$$
g(t) = f(t) - 2 f'(t)
$$
其中,$f'(t)$ 表示 $f(t)$ 的傅里叶反变换。
为了得到 $g(t)$ 的 Fourier 变换,我们需要对 $g(t)$ 进行离散傅里叶变换(DFT):
$$
\begin{aligned}
X(k) &= \int_0^T g(t) e^{-i 2 \pi k t} dt \\
&= \int_0^T (t - 2 f'(t)) e^{-i 2 \pi k t} dt \\
&= (T - 2T') e^{-i 2 \pi k (T - T') } \\
&= \sum_{n=0}^{N-1} a_n e^{-i 2 \pi k n T} \cdot e^{i 2 \pi k (N-n) T'} \\
\end{aligned}
$$
其中,$N$ 表示离散傅里叶变换的采样点数,$a_n$ 表示 $f'(t)$ 对应的系数。
将 $X(k)$ 的 Fourier 变换展开,得到:
$$
X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} a_n e^{-i 2 \pi k n T} \cdot e^{i 2 \pi k (N-n) T'}
$$
因此,$g(t)$ 的 Fourier 变换为:
$$
g(t) = \sum_{n=0}^{N-1} a_n e^{-i 2 \pi k n t} \cdot e^{i 2 \pi k (N-n) T'}
$$
其中,$k$ 表示时域频率,$a_n$ 表示 $f'(t)$ 对应的系数。
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