要求的极限可以写成以下形式： lim ⁡ ������ → ∞ ∑ ������ = 1 ������ ������ 3 2 ∑ ������ = 1 ������ ������ 2 n→∞ lim ​ 2∑ k=1 n ​ k 2 ∑ k=1 n ​ k 3 ​ 首先，我们可以使用平方和公式和立方和公式计算分子和分母： ∑ ������ = 1 ������ ������ 2 = ������ ( ������ + 1 ) ( 2 ������ + 1 ) 6 ∑ ������ = 1 ������ ������ 3 = ( ∑ ������ = 1 ������ ������ ) 2 = ( ������ ( ������ + 1 ) 2 ) 2 k=1 ∑ n ​ k 2 k=1 ∑ n ​ k 3 ​ = 6 n(n+1)(2n+1) ​ =( k=1 ∑ n ​ k) 2 =( 2 n(n+1) ​ ) 2 ​ 将这些代入极限中，得到： lim ⁡ ������ → ∞ ∑ ������ = 1 ������ ������ 3 2 ∑ ������ = 1 ������ ������ 2 = lim ⁡ ������ → ∞ ( ������ ( ������ + 1 ) 2 ) 2 2 ⋅ ������ ( ������ + 1 ) ( 2 ������ + 1 ) 6 = lim ⁡ ������ → ∞ ( ������ 2 + ������ ) 2 4 ( ������ 2 + ������ ) ( 2 ������ + 1 ) / 3 = lim ⁡ ������ → ∞ 3 ( ������ 2 + ������ ) 2 4 ( ������ 2 + ������ ) ( 2 ������ + 1 ) = lim ⁡ ������ → ∞ 3 ( ������ + 1 ) 8 ( 2 ������ + 1 ) = 3 16 n→∞ lim ​ 2∑ k=1 n ​ k 2 ∑ k=1 n ​ k 3 ​ ​ = n→∞ lim ​ 2⋅ 6 n(n+1)(2n+1) ​ ( 2 n(n+1) ​ ) 2 ​ = n→∞ lim ​ 4(n 2 +n)(2n+1)/3 (n 2 +n) 2 ​ = n→∞ lim ​ 4(n 2 +n)(2n+1) 3(n 2 +n) 2 ​ = n→∞ lim ​ 8(2n+1) 3(n+1) ​ = 16 3 ​ ​ 因此，当$n$趋于无穷大时，自然数的立方和与平方和的两倍的比值的极限为$\frac{3}{16}$。